The Structure jacobi operator on real hypersurfaces in a nonflat complex space form

Abstract

複素空間型의 實超曲面에는 자연스럽게 槪接？計量構造 (Ø, ξ, η, g)가 유도된다. 이 실초곡면의 제 2 기본텐서를 A로 나타낸다. 실초곡면의 분류문제를 연구하는 것은 위의 (Ø, ξ, η, g)와 실초곡면에 유도되는 構造方程式 사이의 관계를 기하학적으로 잘 해석하는 것이다. 예컨대, 실초곡면이 Aξ=αξ를 만족하면 구조벡터장 ξ를 主曲率벡터라 하고, α를 ξ에 대응되는 主曲率이라고 한다. 이 때 실초곡면을 Hopf초곡면이라고 한다. 복소공간형의 주곡률이 일정한 실초곡면을 분류하는 문제는 微分幾何學에서 한 중요한 문제이다. 1973년 Takagi는 「複素射影空間의 주곡률이 일정한 Hopf실초곡면은 6가지 꼴 A_(1), A_(2), B, C, D 및 E로 분류된다」 라는 정리를 처음으로 증명하였다. 이보다 늦게 1989년 Bemdt는 「複素雙曲空間의 주곡률이 일정한 Hopf실초곡면은 4가지 꼴 A_(0), A_(1), A_(2) 및 B로 분류된다」 라는 정리를 증명하였다. 복소사영공간의 실초곡면이 A_(1) 또는 A_(2)꼴이고 복소쌍곡공간의 실초곡면이 A_(0), A_(1), 또는 A_(2)꼴일 때, 이와 같은 실초곡면을 통틀어 A꼴이라고 한다. 실초곡면의 연구에서 A꼴의 분류문제는 部分多樣體論에서 한 중요한 과제였다. 복소공간형의 실초곡면에서 제 2 기본텐서 A와 구조텐서장 Ø가 可換인 것은 Okumura(1975년)와 Montiel - Romero(1986년)에 의하여 A꼴로 완전히 분류되었다. Jacobi作用素는 수학의 여러 분야에서 중요하게 사용되고 있는데, 실초곡면의 분류문제에 이것을 이용하는 것은 기하학적으로 큰 뜻이 있다. 복소공간형의 Jacobi構造作用素 R_(ξ)가 구조텐서장 Ø및 제 2 기본텐서 A와 각각 可換일 때, 실초곡면은 Cho-Ki(1998년)에 의하여 완전히 분류되었다. 이 논문에서는 복소공간형의 실초곡면에서 Jacobi구조작용소 R_(ξ)가 구조텐서장 Ø및 Ricci텐서장 S와 각각 可換이라는 전제 아래서 실초곡면을 분류하는 문제를 고찰하여 다음 정리 등을 얻었다. 定理 복소공간형의 平均雌率이 일정한 실초곡면이 R_(ξ)Ø=ØR_(ξ) 및 R_(ξ)S=SR_(ξ)를 만족하면 이 실초곡면은 Hopf초곡면이다. 이때, 실초곡면은 A 꼴로 분류된다.