정사면체에 외접하는 구의 성질

Abstract

평면 도형에 대한 성질 연구는 그 역사가 고대로부터 시작하여 매우 오래되었으며, 그 기간 동안 이루어진 많은 결과들이 있다. (그러나 참고 문헌을 찾기는 매우 어렵다.) 특히 평면도형에 외접하는 외접원과 평면 도형과의 성질에 대한 연구 결과 들이 있다. 임의의 평면도형에 외접하는 외접원이 항상 존재하는 것은 아니나, 정다각형에 외접하는 외접원이 존재한다는 사실은 자명하다. 특히 정삼각형에 외접하는 외접원의 경우, 외접원위의 임의의 점에서 정삼각형의 각 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합이 일정하다는 사실은 잘 알려져 있다[2]. 위의 사실로부터 정다각형에 외접하는 외접원의 경우, 외접원위의 임의의 점에서 정다각형의 각 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합이 일정한 지에 대한 자연스러운 질문을 할 수 있다. 또한 평면 도형 정삼각형을 확장한 정사면체에 대하여서도 성립하는지에 대한 자연스러운 질문(즉 정사면체에 외접하는 구 위의 임의의 점에서 정사면체 각 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합이 일정한가)을 할 수 있다. 이 논문에서는 이런 자연스러운 질문에 대한 연구를 하였다.

2장에서는 평면 도형의 기본 성질과 3, 4 장에서 필요한 평면 도형의 성질들을 기존의 평면 도형의 결과들을 제시하였다. 정삼각형의 외접원 위의 임의의 점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합이 일정하다는 [2] 의 증명 방법은 임의의 정다각형으로의 확장이 어렵다. 3장에서는 [2] 의 증명 방법과 다른 방법을 이용하여 정삼각형의 외접원 위의 임의의 점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합이 일정하다는 사실을 증명하였으며 또한 이 결과를 확장하여 임의의 정다각형의 외접원위의 임의의 점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합이 일정하다는 사실을 증명하였다. 4장에서는 3장에서 사용한 증명 방법을 3차원으로 확장하여 임의의 정사면체에 외접하는 구 위의 임의의 점에서 정사면체의 각 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합이 일정하다는 사실을 증명하였다.