폴리토프와 다중 폴리토프의 회전수에 관한 연구

Abstract

하토리와 마수다에 의해 발견된 다중 팬은 토러스 다양체와 기하학적으로 깊은 관련을 가지고 있다. 다중 팬은 보통의 팬과 여러 가지 다른 성질을 가지고 있는 반면, 또한 비슷한 중요한 성질도 함께 공유하고 있다. 본 논문에서는 하토리와 마수다의 결과를 확장하여, 다중 팬과 다중 폴리토프에 대응하는 회전수를 정의하고 다중 폴리토프가 보통 폴리토프가 될 필요충분조건을 회전수를 이용하여 찾았다. 좀 더 구체적으로, 를 차원 격자라 하고 를 이라 할 때, 의 쌍대공간 에 있는 아핀 초평면 의 합집합 의 여집합 를 정의역으로 갖는 회전수 는 정수로 다음과 같이 정의된다.

본 논문에서 다중 폴리토프 가 보통의 폴리토프이면 회전수 는 다중 폴리토프의 내부에서 1의 값을 갖고 외부에서는 0의 값을 가지며 그 역도 성립함을 월클로싱 공식(wall crossing formula)을 이용하여 증명하였다.