엽다양체가 B인 경우 로렌쯔안 휩곱다양체 위의 어떤 거리의 존재성과 완비성

Abstract

미분기하학에서 기본적인 문제 중의 하나는 미분다양체가 가지고 있는 곡률 함수에 관한 연구이다. 연구방법으로는 종종 해석적인 방법을 적용하여 다양체 위에서의 편미분방정식을 유도하여 해의 존재성을 보인다. Kazdan and Warner [K.W.1, 2, 3]의 결과에 의하면 위의 함수 가 위의 Riemannian metric의 scalar curvature가 되는 세 가지 경우의 타입이 있는 데 먼저 (A) 위의 함수 가 Riemannian metric의 scalar curvature이면 그 함수 가 적당한 점에서 일 때이다. 특히 위에 negative constant scalar curvature를 갖는 Riemannian metric이 존재하는 경우이다. (B) 위의 함수 가 Riemannian metric의 scalar curvature이면 그 함수 가 항등적으로 이거나 모든 점에서 인 경우이다. 특히 위에서 zero scalar curvature를 갖는 Riemannian metric이 존재하는 경우이다. (C) 위의 어떤 라도 scalar curvature가 될 수 있는 적당한 Riemannian metric 이 존재하는 경우이다.

본 논문에서는 엽다양체 이 (B)에 속하는 compact Riemannian manifold일 때, Riemannian warped product manifold인 위에 함수 가 적당한 조건을 만족하면 가 Riemannian warped product metric의 scalar curvature가 될 수 있는 warping function 가 존재할 수 있음을 상해∙하해 방법을 이용하여 증명하였다.