On the equivalence of two generalized Pick's Theorems

Abstract

히가시타니-마수다는 폴리곤에 관한 잘 알려진 피크 정리를 일반화하여 다중 폴리곤에 관한 일반화된 피크 정리를 증명하였다. 한편, 이화는 그의 석사 논문에서 하토리-마수다에 의해 소개된 다중 폴리토프에 관한 일반화된 피크 정리를 도출해 냈다. 일반적으로 다중 폴리토프의 개념과 성질은 다중 폴리곤의 개념과 성질을 포함하고 있으며 더 일반적이다. 본 논문에서는 이러한 두 가지 형태의 일반화된 피크 정리가 2차원 다중 폴리곤의 경우에는 서로 일치함을 보였다. 좀 더 구체적으로, 히가시타니-마수다는 가 격자 다중 폴리곤일 때 라는 불변량 정의하고

이 성립함을 보였다. 또한, 이화는 석사논문에서 가 2차원의 단순 격자 다중 폴리토프일 때,

이 성립함을 보였고 본 논문에서는

을 보여 위의 두 방정식이 서로 동등함을 증명하였다.