The Completeness of Some Metrics on Lorentzian Warped Product Manifolds with Fiber Manifold of Class (B)

Abstract

국 문 초 록

The Completeness of Some Metrics on Lorentzian Warped Product Manifolds with Fiber Manifold of Class (B)

이 정 미 지도교수 : 정 윤 태 조선대학교 교육대학원 수학교육전공

미분기하학에서 기본적인 문제 중의 하나는 미분다양체가 가지고 있는 곡률 함수에 관한 연구이다. 연구방법으로는 종종 해석적인 방법을 적용하여 다양체 위에서의 편미분방정식을 유도하여 해의 존재성을 보인다. Kazdan and Warner ([8], [9], [10])의 결과에 의하면 N위의 함수 f가 N위의 Riemannian metric의 scalar curvature가 되는 세 가지 경우의 타입이 있는 데 먼저 (A) N위의 함수 f가 Riemannian metric의 scalar curvature이면 그 함수 f가 적당한 점에서 f(x₀)<0 일 때이다. 즉, N위에 nagative constant scalar curvature를 갖는 Riemannian metric이 존재하는 경우이다. (B) N위의 함수 f가 Riemannian metric의 scalar curvature이면 그 함수 f가 항등적으로 f≡0 이거나 모든 점에서 f(x)<0 인 경우이다. 즉, N위에서 zero scalar curvature를 갖는 Riemannian metric이 존재하는 경우이다. (C) N위의 어떤 f라도 scalar curvature를 갖는 Riemannian metric이 존재하는 경우이다. 본 논문에서는 다양체 N이 (B)에 속하는 compact Riemannian manifold 일 때, Lorentzian warped product manifold인 M=[a,∞)XfN위에 함수 R(t,x)가 적당한 조건을 만족하면 Riemannian warped product metric의 scalar curvature가 될 수 있는 지를 보였다. 우리의 방법은 상해∙하해 방법을 이용하여 증명하였다.