Hattori-Masuda multi-polytopes and Generalized Ehrhart polynomials

Abstract

하토리-마수다에 의해 발견된 다중 팬은 토러스 다양체와 기하학적인 관련이 있다. 하지만, 토러스 다양체와 관련한 다중 팬이 아닐지라도 흥미로운 문제를 지니고 있다. 본 논문에서는 하토리-마수다의 결과를 통해 단순 격자 다중폴리토프의 새로운 결과를 증명했고, 단순 격자 다중 폴리토프에서 Duistermaat-Heckman 함수 을 통해 #와 #을 정의하고 와 를 정의하여, 다음과 같은 사실이 성립함을 보였다: (1) 가 2차원 단순 격자 다중 폴리토프일 때, ## 와 같은 일반화된 Pick’s formula가 성립한다. (2) 가 2차원 단순 격자 다중 폴리토프이고 의 내부에 있는 격자점이 원점만 존재할 때, ## 이 성립한다. (3) 가 2차원 단순 격자 다중 폴리토프이고 단순 폴리곤이며 내부에 격자점이 원점만 존재할 때, ##=2(+)2()-4 이 성립한다. 이 등식은 ##=12이므로 twelve-point 정리를 일반화한 것으로 볼 수 있다. (4) 가 3차원 단순 격자 다중 폴리토프이고일 때, 에하트 다항식 #=## (# 이 만족된다. (5) 가 4차원 단순 격자 다중 폴리토프이고일 때, 에하트 다항식 # 를 만족하고, 계수들 사이의 관계식 , , # 이 성립한다.