The Existence of Warping Functions on Riemannian Warped Product Manifolds

Abstract

미분기하학에서 기본적인 문제 중의 하나는 미분다양체가 가지고 있는 곡률 함수에 관한 연구이다. 연구방법으로는 종종 해석적인 방법을 적용하여 다양체 위에서의 편미분방정식을 유도하여 해의 존재성을 보인다. Kazdan and Warner ([10], [11], [12])의 결과에 의하면 위의 함수 가 위의 Riemannian metric의 scalar curvature가 되는 세 가지 경우의 타입이 있는데 먼저 (A) 위의 함수 가 Riemannian metric의 scalar curvature이면 그 함수가 적당한 점에서 일 때이다. 즉, 위에 negative constant scalar curvature를 갖는 Riemannian metric이 존재하는 경우이다. (B) 위의 함수 가 Riemannian metric의 scalar curvature이면 그 함수가 항등적으로 이거나 모든 점에서 인 경우이다. 즉, 위에서 zero scalar curvature를 갖는 Riemannian metric이 존재하는 경우이다. (C) 위의 어떤 라도 positive constant curvature를 갖는 Riemannian metric이 존재하는 경우이다. 본 논문에서는 엽다양체 이 (A)에 속하는 compact Riemannian manifold일 때, Riemannian warped product manifold인 위에 함수 가 어떤 조건을 만족하면 가 Riemannian warped product metric의 scalar curvature가 될 수 있는 warping function 가 존재할 수 있음을 상해․하해 방법을 이용하여 증명하였다.|One of the basic problems in the differential geometry is to study the set of curvature functions over a given manifold. The well-known problem in differential geometry is whether a given metric on a compact Riemannian manifold is necessarily pointwise conformal to some metric with constant scalar curvature or not. In a recent study ([9]), Jung and Kim have studied the problem of scalar curvature functions on Lorentzian warped product manifolds and obtaind partial results about the existence and nonexistence of Lorentzian warped metric with some prescribed scalar curvature function. In this paper, we study also the existence and nonexistence of Riemannian warped metric with prescribed scalar curvature functions on some Riemannian warped product manifolds. By the results of Kazdan and Warner ([10], [11], [12]), if N is a compact Riemannian n−manifold without boundary n ≥ 3, then N belongs to one of the following three categories: (A) A smooth function on N is the scalar curvature of some Riemannian metric on N if and only if the function is negative somewhere. (B) A smooth function on N is the scalar curvature of some Riemannian metric on N if and only if the function is either identically zero or strictly negative somewhere. (C) Any smooth function on N is the scalar curvature of some Riemannian metric on N. This completely answers the question of which smooth functions are scalar curvatures of Riemannian metrics on a compact manifold N. In [10], [11] and [12], Kazdan and Warner also showed that there exists some obstruction of a Riemannian metric with positive scalar curvature (or zero scalar curvature) on a compact manifold. In [13] and [14], the author considered the scalar curvature of some Riemannian warped product and its conformal deformation of warped product metric. In this paper, when N is a compact Riemannian manifold, we consider the existence of warping functions on a warped product manifold M = [a,∞)×f N with specific scalar curvatures, where a is a positive constant. That is, it is shown that if the fiber manifold N belongs to class (A) then M admits a Riemannian metric with some negative scalar curvature outside a compact set.