The nonexistence of conformal deformations on Riemannian warped product manifolds

Abstract

미분기하학에서 기본적인 문제 중의 하나는 미분다양체가 가지고 있는 곡률함수에 관한 연구이다. 특히, 어떤 함수가 주어진 미분다양체의 곡률함수가 되는 문제는 해석적인 방법을 적용하여 주어진 다양체 위에서의 편미분방정식의 해의 존재성의 문제로 바꿀 수 있다. Kazdan and Warner([13], [14], [15])의 결과에 의하면 위의 함수 가 위의 Riemannian metric의 scalar curvature가 되는 세 가지 경우의 타입이 있다. (A) 위의 함수 가 Riemannian metric의 scalar curvature이면 그 함수 가 적당한 점에서 일 때이다. 즉 위에 negative constant scalar curvature를 갖는 Riemannian metric이 존재하는 경우이다. (B) 위의 함수 가 Riemannian metric의 scalar curvature이면 그 함수 가 항등적으로 이거나 모든 점에서 인 경우이다. 즉, 위에서 zero scalar curvature를 갖는 Riemannian metric이 존재하는 경 우이다. (C) 위의 어떤 라도 positive constant scalar curvature를 갖는 Riemannian metric이 존재하는 경우이다. 본 논문에서는 엽다양체 이 (C)에 속하는 compact Riemannian manifold 일 때, Riemannian warped product manifold인 위에 함수 가 Riemannian warped product metric의 scalar curvature가 되도록 하는 conformal deformation이 존재할 수 없음을 증명하였다.

(본문 참조)