The completness of some metrics on Lorentzian warped products of manifolds.

Abstract

미분기하학의 기본적인 문제 중의 하나는 미분다양체상의 있는 곡률 함수(curvature function)를 연구하는 것이다. 종종 해석적인 방법을 택해 연구방법으로 다양체 위에서의 편미분방정식을 유도하여 해의 존재성을 보인다. 본 논문에서는 다양체 N이 n (3이상) 차원 콤팩트 리만(compact Riemannian) 다양체일 때, 휜곱다양체(warped product manifold) 위에서 미래방향의 시간류 측지적 완비로렌쯔 거리 (future timelike geodesically complete Lorentzian metrics)의 존재성을 보이고자 한다. 따라서, 본 논문에서는 다양체 위에서 비선형 편미분방정식을 유도하고, 속 다양체(fiber manifold)가 상수 스칼라 곡률(constant scalar curvature)을 갖고 어떤 함수 R(t,x) 가 t만의 함수일 때, 상해(upper solution) 와 하해(lower solution)의 방법을 이용하여 방정식 을 만족하는 양의 해(positive solution)의 존재성을 밝힌다. 제 2장에서 휜곱다양체(warped product manifold)에 관한 기본적인 개념과 몇 가지 결과를 설명하였다. 제 3장에서 휜곱다양체(warped product manifold)상에서 n (3)차원 콤팩트 리만(compact Riemannian)다양체 N이 class (A) 혹은 (B)인 경우 식 (*)의 양의 해(positive soiution)의 존재성을 보였다. 제 4장에서 휜곱다양체(warped product manifold) 상에서 n (3)차원 콤팩트 리만(compact Riemannian)다양체 N이 class (C) 인 경우일 때, 식 (*)을 만족하는 양의 해(positive solution)의 존재성을 연구하였다.