Differential equation and scalar curvature on a warped product manifold

Abstract

미분기하학에서 기본적인 문제 중 하나는 미분다양체가 가지고 있는 곡률 함수에 관해 연구하는 것이다. 연구방법으로는 종종 해석적인 방법을 적용하여 다양체 위에서의 편미분방정식을 유도하여 해의 존재성을 보인다. 본 논문에서는 상해와 하해의 방법과 변분법을 이용하여 휜곱다양체 위의 편미분방정식의 해를 연구하고자 한다. 즉 , 변분법을 이용하여 휜 곱다양체 M=B×_(f)N 의 상수 스칼라 곡률이 되는 휜함수의 존재성을 밝히고자 한다. 연구내용은 다음과 같다. 제2장에서 휜곱다양체에 관한 기본적인 개념과 몇 가지 결과를 설명하였다. 제3장에서 N이 상수 스칼라 곡률을 갖는 적당한 다양체일 때, 특정한 상수 스칼라 곡률을 갖는 M=Bx_(f)N 위에서의 휜곱거리들을 구성하기 위한 방법들을 연구하였다. 이것은 속 다양체N이 상수 스칼라 곡률을 갖으면 변분법을 이용하여 M은 상수 스칼라 곡률을 갖는 계량이 존재함을 보였다.