GEOMETRIC INEQUALITY FOR WARPED PRODUCT IN ALMOST CONTACT METRIC MANIFOLDS

Abstract

부분다양체의 연구는 Nash의 정리에 의하여 그 의미를 다시 생각할 수 있다. 즉, 미분다양체의 연구는 궁극적으로 리만다양체의 연구로 이어지는데 Nash의 정리에 의하면 어떤 리만다양체라도 적당히 큰 차원의 유클리드공간에 등장적으로 매장될 수 있다. 그러므로 주어진 리만다양체를 유클리드공간의 부분다양체로 간주하였을 때 주어진 리만다양체에 관하여 많은 정보를 찾을 수 있을 것이다. 리만다양체의 부분다양체에는 외재적 불변량(모양연산자, 평균곡률 등)과 내재적 불변량(상수곡률, 리치곡률, 단면곡률 등)이 존재하는데 이 두 불변량 사이에 어떤 관계가 있는지 연구를 하는 것은 흥미로운 일이다. Gauss-Bonnet 정리, 등주부등식, Chern -Lashof 정리 등은 유클리드공간의 부분다양체에 관한 두 불변량 사이의 관계를 설명해 주는 대표적인 정리들이다. 한편, 1993년에 B.-Y. Chen은 두 불변량 사이에 기본부등식(basic inequality)을 도입하였으며 많은 학자들은 이 부등식을 이용하여 부분다양체에 관한 연구를 하고 있다. 최근에 리만다양체의 부분다양체로서 휜 곱 다양체(warped product manifold)에 관한 연구로 warping함수와 외재적 불변량 사이의 부등식 문제를 제시하였다. 본 논문에서는 개 접촉구조를 갖는 다양체의 휜 곱 부분다양체에 대하여 다음과 같은 연구를 하였다. 제 2장에서는 개 접촉구조를 갖는 다양체의 일반적인 사실을 언급하였고, 제3장에서는 개 접촉구조를 갖는 다양체 중에서 locally conformal almost cosympletic manifold의 휜 곱 부분다양체를 연구 하였으며, 특히 warping함수와 외재적 불변량인 평균곡률 사이에 어떤 관계가 있는지 조사 하였다 (정리 3.6, 3.11). 제 4장에서는 일반화된 Sasaki공간형(generalized Sasakian space form) 또한 개 접촉구조를 갖는 것으로서 3장에서 연구되어진 방법을 이 공간형에 이용하여 warping함수와 평균곡률 사이의 관계를 조사 하였다 (정리 4.4). 일반화된 Sasaki공간형은 cosympletic공간형, Kenmotsu공간형, almost -공간형을 모두 포함하는 형태로서 정리 4.4에서 주어진 부등식을 이용하여 위의 공간형들의 부등식을 만들 수 있었다. (Cor 4.14).